2000 年考研数学（二） 第 18 题

把“几何最值”翻译成“函数最值”：体积 $V$ 是参数 $a$ 的函数，先算出 $V(a)$ 再求极值。$V(a)$ 用圆盘法（大圆减小圆，直线在外、抛物线在内）。积分后得到干净的 $\frac{2\pi a^2}{15(1+a{)}^{5/2}}$；对它求导，分子出现因子 $a(4-a)$，符号一目了然：$a=4$ 是唯一极大。收尾把 $5^{5/2}=25\sqrt{5}$ 有理化即得 $\frac{32\sqrt{5}\pi }{1875}$。

本题考查旋转体体积（圆盘法）与函数最值。 先把体积表成 $a$ 的函数 $V(a)$，再求最大值。

由 $a{x}^2=1-x^2$ 得交点横坐标 $x_A=\frac{1}{\sqrt{1+a}}$，$y_A=\frac{a}{1+a}$，即 $A(\frac{1}{\sqrt{1+a}},\frac{a}{1+a})$。直线 $OA$ 的方程为 $y=\frac{a}{\sqrt{1+a}}x$。

在 $[0,x_A]$ 上直线 $OA$ 在抛物线 $y=a{x}^2$ 上方，绕 $x$ 轴旋转用圆盘法：
$$V=\pi {\int }_0^{x_A}\left[\right(\frac{a}{\sqrt{1+a}}x{)}^2-(a{x}^2{)}^2]\mathrm{d}x=\pi {\int }_0^{x_A}(\frac{a^2}{1+a}{x}^2-a^2{x}^4)\mathrm{d}x.$$

代入 $x_A=\frac{1}{\sqrt{1+a}}$：
$$V=\pi [\frac{a^2}{1+a}\cdot \frac{x_A^3}{3}-a^2\cdot \frac{x_A^5}{5}]=\frac{\pi a^2}{3(1+a{)}^{5/2}}-\frac{\pi a^2}{5(1+a{)}^{5/2}}=\frac{2\pi a^2}{15(1+a{)}^{5/2}}.$$

求导 $V^{\prime }(a)=\frac{\pi }{15}\cdot \frac{a(4-a)}{(1+a{)}^{7/2}}$。令 $V^{\prime }=0$（$a>0$）得 $a=4$；当 $0<a<4$ 时 $V^{\prime }>0$，$a>4$ 时 $V^{\prime }<0$，故 $a=4$ 时体积最大，
$$V(4)=\frac{2\pi \cdot 16}{15\cdot 5^{5/2}}=\frac{32\pi }{15\cdot 25\sqrt{5}}=\frac{32\sqrt{5}\pi }{1875}.$$