2000 年考研数学（二） 第 4 题

求斜渐近线就是求 $k$ 和 $b$ 两个极限。$k$ 好求：$\frac{y}{x}=(2-\frac{1}{x}){\mathrm{e}}^{1/x}\to 2$。难点在 $b=\lim (y-2x)$：把 $(2x-1){\mathrm{e}}^{1/x}-2x$ 重组为 $2x({\mathrm{e}}^{1/x}-1)-{\mathrm{e}}^{1/x}$，其中 $2x({\mathrm{e}}^{1/x}-1)$ 是 $\infty \cdot 0$ 型，用 ${\mathrm{e}}^t-1\sim t$（$t=\frac{1}{x}\to 0$）秒杀，得 $2$。

本题考查曲线的斜渐近线。 斜渐近线 $y=kx+b$ 中 $k={\lim }_{x\to \infty }\frac{y}{x}$，$b={\lim }_{x\to \infty }(y-kx)$。

先求斜率：
$$k=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{(2x-1){\mathrm{e}}^{1/x}}{x}=\underset{x\to \infty }{\lim }(2-\frac{1}{x}){\mathrm{e}}^{1/x}=2\cdot 1=2.$$

再求截距：
$$b=\underset{x\to \infty }{\lim }[(2x-1){\mathrm{e}}^{1/x}-2x]=\underset{x\to \infty }{\lim }\left[2x\right({\mathrm{e}}^{1/x}-1)-{\mathrm{e}}^{1/x}].$$当 $x\to \infty$ 时 ${\mathrm{e}}^{1/x}-1\sim \frac{1}{x}$，故 $2x({\mathrm{e}}^{1/x}-1)\to 2$，而 ${\mathrm{e}}^{1/x}\to 1$，得 $b=2-1=1$。

所以斜渐近线为 $y=2x+1$。