2000 年考研数学（二） 第 3 题

分母同时含一次式与根式 $\sqrt{x-2}$，第一反应是根式换元 $u=\sqrt{x-2}$，让根号消失、$\mathrm{d}x$ 里的 $2u$ 恰好约掉分母的 $u$。剩下 $\int \frac{\mathrm{d}u}{u^2+9}$ 是标准的反正切型（$a=3$）。这类“一次式乘根式”的反常积分几乎都走这条路。

本题考查反常积分的计算（第二类换元）。 令 $\sqrt{x-2}=u$ 去根号。

设 $u=\sqrt{x-2}$，则 $x=u^2+2$，$x+7=u^2+9$，$\mathrm{d}x=2u\mathrm{d}u$；当 $x:2\to +\infty$ 时 $u:0\to +\infty$。于是
$${\int }_2^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{(x+7)\sqrt{x-2}}={\int }_0^{+\infty }\frac{2u\mathrm{d}u}{(u^2+9)u}=2{\int }_0^{+\infty }\frac{\mathrm{d}u}{u^2+9}.$$

$$2{\int }_0^{+\infty }\frac{\mathrm{d}u}{u^2+9}=2\cdot \frac{1}{3}\arctan \frac{u}{3}{|}_0^{+\infty }=\frac{2}{3}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{3}.$$

故原反常积分收敛，值为 $\frac{\pi }{3}$。