2000 年考研数学（二） 第 2 题

隐函数求微分，标准三步：定点、求导、代入。关键陷阱有两处：一是指数函数 $2^{xy}$ 求导要带 $\ln 2$ 以及内层 $(xy{)}^{\prime }=y+x{y}^{\prime }$（乘积法则）；二是别忘了先算出 $x=0$ 时 $y=1$，否则代入无从下手。求得 $y^{\prime }(0)=\ln 2-1$ 后，微分就是它乘 $\mathrm{d}x$。

本题考查由方程确定的隐函数求微分。 先定出 $x=0$ 对应的 $y$，再对方程两端求导。

当 $x=0$ 时，方程为 $2^0=0+y$，即 $y=1$。

方程 $2^{xy}=x+y$ 两端对 $x$ 求导：
$$2^{xy}\ln 2\cdot \left(y+x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)=1+\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}.$$

将 $x=0,y=1$ 代入：$\ln 2\cdot (1+0)=1+\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$，即 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}{|}_{x=0}=\ln 2-1$。因此 $\mathrm{d}y{|}_{x=0}=(\ln 2-1)\mathrm{d}x$。