2000 年考研数学（二） 第 1 题

分式 $\frac{0}{0}$ 型，先把分母能换的等价无穷小换掉（$\ln (1+2x^3)\sim 2x^3$），把分子的“差”当作高阶无穷小处理。分子 $\arctan x-x$ 的最低阶项是 $-\frac{x^3}{3}$（泰勒），恰与分母 $2x^3$ 同阶，比值 $\frac{-1/3}{2}=-\frac{1}{6}$。看到“反三角减自身”这种结构，第一反应就是它的三阶泰勒项。

本题考查极限的计算（等价无穷小替换 + 洛必达/泰勒）。 分母用等价无穷小，分子用泰勒展开或洛必达法则。

当 $x\to 0$ 时 $\ln (1+2x^3)\sim 2x^3$，故
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\arctan x-x}{\ln (1+2x^3)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\arctan x-x}{2x^3}.$$

对分子用洛必达（或泰勒 $\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)$）：
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\arctan x-x}{2x^3}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{1}{1+x^2}-1}{6x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-x^2}{6x^2(1+x^2)}=-\frac{1}{6}.$$

故所求极限为 $-\frac{1}{6}$。