1999 年考研数学（二） 第 6 题

分段点问「连续/可导」，一律回定义逐层往上查：函数值→极限（连续）→左右导数（可导）。两个陷阱都藏在阶的估计里：右侧 $\frac{1-\cos x}{\sqrt{x}}\sim \frac{x^2/2}{x^{1/2}}=\frac{1}{2}{x}^{3/2}$，除以 $x$ 后仍是 $\frac{1}{2}{x}^{1/2}\to 0$；左侧靠「有界 $\times$ 无穷小」直接压到 $0$。左右导数都为 $0$，故可导，选最强的 D。

本题考查分段函数在分界点的连续性与可导性。 分别考察左、右极限、函数值以及左、右导数。

函数值 $f(0)=0^{2}g(0)=0$。右极限：$1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}$，故 $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1-\cos x}{\sqrt{x}}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x^2/2}{\sqrt{x}}=0$；左极限：$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }{x}^{2}g(x)=0$（$g$ 有界，$x^2\to 0$）。故极限存在且等于 $f(0)$，$f$ 在 $0$ 连续。

右导数：$f_{+}^{\prime }(0)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x)-0}{x}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1-\cos x}{x\sqrt{x}}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x^2/2}{x^{3/2}}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{2}\sqrt{x}=0$。

左导数：$f_{-}^{\prime }(0)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{x^{2}g(x)-0}{x}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }xg(x)=0$（$g$ 有界）。

因为 $f_{+}^{\prime }(0)=f_{-}^{\prime }(0)=0$，所以 $f$ 在 $x=0$ 处可导。故选 D。