1999 年考研数学（二） 第 5 题

常系数非齐次的核心判断是「共振」：右端指数与特征根重合就要在特解里补 $x$。本题 $\lambda =2$ 是单重根，故特解从 $a{e}^{2x}$ 升格为 $ax{e}^{2x}$（若是二重根则升到 $a{x}^2{e}^{2x}$）。代入后齐次部分自动为零，只剩 $4a{e}^{2x}=e^{2x}$，一步定出 $a=\frac{1}{4}$。

本题考查二阶常系数非齐次线性微分方程。 通解＝齐次通解＋一个特解，特解形式由右端 $e^{2x}$ 与特征根的关系决定。

特征方程 ${\lambda }^2-4=0$，特征根 ${\lambda }_1=-2,{\lambda }_2=2$，故齐次通解为 $y_c=C_1{e}^{-2x}+C_2{e}^{2x}$。

右端 $e^{2x}$ 中指数 $2$ 恰为单重特征根，故设特解 $y^{\ast }=ax{e}^{2x}$。代入原方程：$(y^{\ast }{)}^{\prime \prime }-4y^{\ast }=4a{e}^{2x}=e^{2x}$，得 $a=\frac{1}{4}$。

故通解为 $y=C_1{e}^{-2x}+C_2{e}^{2x}+\frac{1}{4}x{e}^{2x}$（$C_1,C_2$ 为任意常数）。