1999 年考研数学（二） 第 4 题

「平均值」就是定积分除以区间长度，别忘了最后那一步除法。含 $\sqrt{1-x^2}$ 的积分几乎条件反射用 $x=\sin t$，代换后 $\cos t$ 上下相消，只剩好积的 ${\sin }^{2}t$。收尾时 $\frac{2}{\sqrt{3}-1}$ 分母有理化，正好把 $\pi /12$ 前面凑出 $(\sqrt{3}+1)$。

本题考查函数在区间上的平均值（定积分的应用）。 平均值 $\bar{y}=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}ydx$，积分用三角代换。

令 $x=\sin t$，则 $dx=\cos tdt$，$\sqrt{1-x^2}=\cos t$。当 $x=\frac{1}{2}$ 时 $t=\frac{\pi }{6}$，$x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 时 $t=\frac{\pi }{3}$。于是
$${\int }_{1/2}^{\sqrt{3}/2}\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx={\int }_{\pi /6}^{\pi /3}\frac{{\sin }^{2}t}{\cos t}\cos tdt={\int }_{\pi /6}^{\pi /3}{\sin }^{2}tdt.$$

用降幂公式 ${\sin }^{2}t=\frac{1-\cos 2t}{2}$：
$${\int }_{\pi /6}^{\pi /3}{\sin }^{2}tdt=\frac{1}{2}\left(t-\frac{1}{2}\sin 2t\right){|}_{\pi /6}^{\pi /3}=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)-\left(\frac{\pi }{6}-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)\right]=\frac{\pi }{12}.$$

区间长度为 $\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，故平均值
$$\bar{y}=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}-1}{2}}\cdot \frac{\pi }{12}=\frac{2}{\sqrt{3}-1}\cdot \frac{\pi }{12}=\frac{(\sqrt{3}+1)\pi }{12}.$$