1999 年考研数学（二） 第 3 题

分母是不可约二次式的有理积分，识别信号是「配方后为 $(x-a{)}^2+b^2$」。通用手法：分子强行拆成「分母导数的常数倍」＋「常数」，前者给对数、后者给 $\arctan$。本题 $2x-6$ 是分母导数，故写 $x+5=\frac{1}{2}(2x-6)+8$，剩下的 $8$ 配上 $b=2$ 得系数 $8\cdot \frac{1}{2}=4$，正是 $\arctan$ 前的 $4$。

本题考查有理函数积分：分母为不可约二次式。 把分子拆成「分母的导数」与「常数」两部分，分别积成对数与反正切。

分母 $x^2-6x+13=(x-3{)}^2+2^2$，其导数为 $2x-6$。把分子凑成 $x+5=\frac{1}{2}(2x-6)+8$，于是
$$\int \frac{x+5}{x^2-6x+13}dx=\frac{1}{2}\int \frac{2x-6}{x^2-6x+13}dx+8\int \frac{dx}{(x-3{)}^2+2^2}.$$

第一部分凑微分：$\frac{1}{2}\int \frac{d(x^2-6x+13)}{x^2-6x+13}=\frac{1}{2}\ln (x^2-6x+13)$（分母恒正，无需绝对值）。

第二部分：$8\int \frac{d(x-3)}{(x-3{)}^2+2^2}=8\cdot \frac{1}{2}\arctan \frac{x-3}{2}=4\arctan \frac{x-3}{2}$。

合并得 $\int \frac{x+5}{x^2-6x+13}dx=\frac{1}{2}\ln (x^2-6x+13)+4\arctan \frac{x-3}{2}+C$。