1999 年考研数学（二） 第 2 题

隐函数求某点导数值，切忌先解出 $y(x)$ 再求导。标准套路是「两端求导、再代点」：本题在 $x=0$ 处先补出 $y=1$，求导后代入，绝大多数含 $x$ 的项因 $x=0$ 归零，方程瞬间坍缩为 $y^{\prime }=\cos 0=1$。这种「代点即消项」正是隐函数定值问题设计的便利之处。

本题考查由方程确定的隐函数求导。 先由 $x=0$ 定出对应的 $y$，再对方程两端关于 $x$ 求导并代值。

当 $x=0$ 时，方程为 $\ln (0+y)=0+\sin 0=0$，故 $y=1$。

对 $\ln (x^2+y)=x^{3}y+\sin x$ 两端关于 $x$ 求导：
$$\frac{2x+\frac{dy}{dx}}{x^2+y}=3x^{2}y+x^3\frac{dy}{dx}+\cos x.$$

将 $x=0,y=1$ 代入：$\frac{0+y^{\prime }}{0+1}=0+0+\cos 0$，即 $y^{\prime }=1$。故 $\frac{dy}{dx}{|}_{x=0}=1$。