1999 年考研数学（二） 第 1 题

参数曲线求法线，三步走：定参数、求 $\frac{dy}{dx}$、取负倒数。本题的关键信号是「在点 $(0,1)$ 处」——先回代求出 $t=0$，切线斜率算得 $\frac{1}{2}$，法线斜率立刻是 $-2$；分子 $\frac{dy}{dt}$ 与分母 $\frac{dx}{dt}$ 各自用乘积法则求导，代入 $t=0$ 后大量项因 $\sin 0=0$ 消失，计算并不繁。

本题考查参数方程求导与法线方程。 先由点定出参数值，再用参数方程求导公式求切线斜率，取负倒数得法线斜率。

点 $(0,1)$ 对应参数 $t=0$（此时 $x=e^0\sin 0=0$，$y=e^0\cos 0=1$）。由参数方程求导：
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{e^t\cos t-e^t\sin t}{e^t\sin 2t+2e^t\cos 2t}.$$

代入 $t=0$：$\frac{dy}{dx}{|}_{t=0}=\frac{1-0}{0+2}=\frac{1}{2}$，即切线斜率为 $\frac{1}{2}$，法线斜率为 $-2$。

故法线方程为 $y-1=-2(x-0)$，即 $y=-2x+1$。