1999 年考研数学（二） 第 7 题

变限积分作无穷小，标准动作是求导找主部：${\int }_0^{u}hdt\sim h(0)u$。这里 $\alpha \sim 5x$（$\frac{\sin t}{t}\to 1$ 再乘上限导数 $5$），$\beta \sim e\cdot x$（$(1+t{)}^{1/t}\to e$，$\sin x\sim x$）。$\frac{\alpha }{\beta }\to \frac{5}{e}$ 有限非零但 $\ne 1$，正是「同阶不等价」的定义。

本题考查变限积分定义的无穷小的阶的比较。 分别求 $\alpha (x)$、$\beta (x)$ 与 $x$ 的等价无穷小，再看比值。

对 $\alpha$：由变限积分求导 ${\alpha }^{\prime }(x)=\frac{\sin 5x}{5x}\cdot 5$，故 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\alpha (x)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }{\alpha }^{\prime }(x)=5$（洛必达），即 $\alpha (x)\sim 5x$。

对 $\beta$：${\beta }^{\prime }(x)=(1+\sin x{)}^{\frac{1}{\sin x}}\cos x\to e$（因 $t\to 0$ 时 $(1+t{)}^{1/t}\to e$），故 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\beta (x)}{x}=e$，即 $\beta (x)\sim ex$。

于是 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=\frac{5}{e}$，是有限非零常数且不等于 $1$，故 $\alpha$ 与 $\beta$ 是同阶但不等价的无穷小。故选 C。