1999 年考研数学（二） 第 8 题

「原函数继承什么性质」是经典判别题。正面能证的只有一条：奇函数的原函数必为偶（对 ${\int }_0^x$ 作 $t=-u$ 代换即得）。其余三条都能用最简单的三角函数反例秒杀——$\cos x$ 说明「偶未必给奇」「单调未必给单调」，$1-\cos x$ 说明「周期未必给周期」（积出的 $x$ 项破坏了周期）。记住：积分通常「升一级光滑度、乱奇偶周期」。

本题考查原函数的奇偶性、周期性、单调性。 用「变限积分表示原函数 + 举反例排除」两条思路。

证 A：设 $f$ 为奇函数，取原函数 $F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$（其余原函数与它相差常数）。令 $t=-u$：
$$F(-x)={\int }_0^{-x}f(t)dt={\int }_0^{x}f(-u)(-du)={\int }_0^{x}f(u)du=F(x),$$
（末步用 $f(-u)=-f(u)$）。故 $F(-x)=F(x)$，$F$ 为偶函数；加任意常数仍偶。A 正确。

排除其余：取 $f(x)=\cos x$（偶），$F(x)=\sin x+C$ 未必奇，B 错；取 $f(x)=1-\cos x$（周期），$F(x)=x-\sin x+C$ 非周期，C 错；取 $f(x)=\cos x$ 在 $[0,\pi ]$ 单调减，$F(x)=\sin x+C$ 在 $[0,\pi ]$ 不单调，D 错。

故选 A。