1999 年考研数学（二） 第 9 题

这类「改一改极限定义、问是否等价」的题，胜负手全在「$\epsilon$ 的任意性」。把 $\epsilon$ 换成 $2\epsilon$、$k\epsilon$，或把 $<$ 改成 $\le$，或把范围缩到 $(0,1)$，都不改变「误差能任意小」这一核心，故仍是充要条件。只有当改动破坏了任意性（比如固定某个具体 ${\epsilon }_0$）时，才会失去等价。

本题考查数列极限的 $\epsilon$–$N$ 定义的等价变形。 关键看「$\epsilon$ 的任意性」与「$2\epsilon$、$\le$」这些改动是否影响定义的实质。

充分性：题设对任意 $\epsilon \in (0,1)$ 成立。任给 ${\epsilon }^{\prime }>0$，取 $\epsilon =\min \{{\epsilon }^{\prime }/2,1/2\}\in (0,1)$，则存在 $N$，当 $n\ge N$ 时 $|x_n-a|\le 2\epsilon \le {\epsilon }^{\prime }$，符合极限定义，故 $x_n\to a$。

必要性：若 $x_n\to a$，则对任意 $\epsilon \in (0,1)$（更是任意正数），存在 $N$ 使 $n\ge N$ 时 $|x_n-a|<\epsilon \le 2\epsilon$，题设条件当然成立。

由于 $\epsilon$ 具有任意性，把上界 $\epsilon$ 换成 $2\epsilon$、严格小于改成 $\le$，都不改变「$|x_n-a|$ 可任意小」这一实质，故它与 $x_n\to a$ 等价。故选 C。