1999 年考研数学（二） 第 10 题

高阶行列式带参数 $x$，硬展开是灾难；正确姿势是「列减列」制造大量零。本题各元素都是 $x$ 的一次式，$C_j-C_1$ 后常数化、$x$ 项集中，很快能造出零块，用分块乘法把四阶降成两个二阶。最终 $f(x)=5x(x-1)$ 只有两个根——题目问「根的个数」而非「解方程」，抓住因式分解即可。

本题考查行列式的化简与因式分解。 用列变换把行列式化成分块形式，得到 $f(x)$ 的因式，再数根的个数。

作列变换 $C_2-C_1,C_3-C_1,C_4-C_1$（不改变行列式值）：
$$f(x)=\left|\begin{array}{cccc}x-2& 1& 0& -1\\ 2x-2& 1& 0& -1\\ 3x-3& 1& x-2& -2\\ 4x& -3& x-7& -3\end{array}\right|.$$

再作 $C_4+C_2$，把第 4 列前两个元素化为 $0$：
$$f(x)=\left|\begin{array}{cccc}x-2& 1& 0& 0\\ 2x-2& 1& 0& 0\\ 3x-3& 1& x-2& -1\\ 4x& -3& x-7& -6\end{array}\right|.$$

右上角 $2\times 2$ 块为零，行列式按分块（左上、右下两个 $2\times 2$）相乘：
$$f(x)=\left|\begin{array}{cc}x-2& 1\\ 2x-2& 1\end{array}\right|\cdot \left|\begin{array}{cc}x-2& -1\\ x-7& -6\end{array}\right|=(-x)\cdot (-5(x-1))=5x(x-1).$$

故 $f(x)=5x(x-1)$，方程 $f(x)=0$ 有两个根 $x=0,x=1$。故选 B。