1999 年考研数学（二） 第 11 题

分母是三阶无穷小（$-\frac{x^3}{2}$），意味着分子也必须精确到 $x^3$。两个陷阱：其一，分母别只算到 $x^2$，$x\ln (1+x)-x^2$ 的一、二阶项恰好抵消，真正主部在 $x^3$；其二，$\tan x-\sin x$ 千万不能各自替换成 $x$（那样得 $0$），要提公因式写成 $\tan x(1-\cos x)\sim \frac{x^3}{2}$。根号差先有理化把差搬到分子，是打开此题的钥匙。

本题考查 $\frac{0}{0}$ 型极限：泰勒展开定分母主部、分子有理化。 先把分母用泰勒公式化为等价无穷小。

分母：由 $\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$，得
$$x\ln (1+x)-x^2=x(x-\frac{x^2}{2}+o(x^2))-x^2=-\frac{x^3}{2}+o(x^3)\sim -\frac{x^3}{2}.$$

分子有理化：$\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}=\frac{\tan x-\sin x}{\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x}}$，其中分母 $\to 2$。故原式
$$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{\tan x-\sin x}{\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x}}}{-\frac{x^3}{2}}=-2\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x}}\cdot \frac{\tan x-\sin x}{x^3}.$$

又 $\tan x-\sin x=\tan x(1-\cos x)\sim x\cdot \frac{x^2}{2}=\frac{x^3}{2}$，故
$$=-2\cdot \frac{1}{2}\cdot \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x-\sin x}{x^3}=-\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x}{x}\cdot \frac{1-\cos x}{x^2}=-1\cdot \frac{1}{2}=-\frac{1}{2}.$$

故极限为 $-\frac{1}{2}$。