1999 年考研数学（二） 第 12 题

「$\arctan x$ 除以幂函数」的积分，第一反应是分部积分，把 $\arctan$ 求导换成 $\frac{1}{1+x^2}$ 这个好处理的有理式。$\frac{1}{x^2}$ 恰好是 $-\frac{1}{x}$ 的导数，凑微分自然。剩下的 $\frac{1}{x(1+x^2)}$ 部分分式拆开，两段对数合并成 $\frac{1}{2}\ln \frac{x^2}{1+x^2}$，上限比值趋于 $1$、对数趋于 $0$，反常积分收敛无忧。

本题考查反常积分的计算（分部积分）。 把 $\frac{1}{x^2}dx$ 凑成 $d\left(-\frac{1}{x}\right)$ 作分部积分。

$${\int }_1^{+\infty }\frac{\arctan x}{x^2}dx=-{\int }_1^{+\infty }\arctan xd\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{\arctan x}{x}{|}_1^{+\infty }+{\int }_1^{+\infty }\frac{1}{x}\cdot \frac{1}{1+x^2}dx.$$

边界项：$x\to +\infty$ 时 $\frac{\arctan x}{x}\to 0$，$x=1$ 时为 $\frac{\pi /4}{1}=\frac{\pi }{4}$，故 $-\frac{\arctan x}{x}{|}_1^{+\infty }=\frac{\pi }{4}$。

余下积分：$\frac{1}{x(1+x^2)}=\frac{1}{x}-\frac{x}{1+x^2}$，故
$${\int }_1^{+\infty }\frac{dx}{x(1+x^2)}={\left[\ln x-\frac{1}{2}\ln (1+x^2)\right]}_1^{+\infty }=\frac{1}{2}\ln \frac{x^2}{1+x^2}{|}_1^{+\infty }=0-\frac{1}{2}\ln \frac{1}{2}=\frac{1}{2}\ln 2.$$

合计 ${\int }_1^{+\infty }\frac{\arctan x}{x^2}dx=\frac{\pi }{4}+\frac{1}{2}\ln 2$。