1999 年考研数学（二） 第 13 题

看到 $\sqrt{x^2+y^2}$ 与 $\frac{y}{x}$ 同框，且右端能整理成只含 $\frac{y}{x}$ 的形式，就是齐次方程的招牌，令 $u=\frac{y}{x}$ 必然把 $u$ 消掉一截、化成可分离。积出的 $\ln (u+\sqrt{1+u^2})$（反双曲正弦）不必怕，定完常数后用它与共轭式 $\frac{1}{x}$ 相减，​ 项抵消，干净地解出 $u$，最终得到简洁的抛物线 $y=\frac{1}{2}(x^2-1)$。

本题考查齐次型一阶微分方程。 通过 $u=\frac{y}{x}$ 代换化为可分离变量方程。

方程化为 $\frac{dy}{dx}=\frac{y+\sqrt{x^2+y^2}}{x}=\frac{y}{x}+\sqrt{1+(\frac{y}{x}{)}^2}$（$x>0$）。令 $u=\frac{y}{x}$，即 $y=ux$，$\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}$，代入得
$$u+x\frac{du}{dx}=u+\sqrt{1+u^2}⟹x\frac{du}{dx}=\sqrt{1+u^2}.$$

分离变量并积分：$\int \frac{du}{\sqrt{1+u^2}}=\int \frac{dx}{x}$，得 $\ln (u+\sqrt{1+u^2})=\ln x+\ln C$，即 $u+\sqrt{1+u^2}=Cx$。

由初值 $y(1)=0$ 得 $u=0$，代入得 $C=1$。于是 $u+\sqrt{1+u^2}=x$；又由 $(\sqrt{1+u^2}{)}^2-u^2=1$ 得共轭式 $-u+\sqrt{1+u^2}=\frac{1}{x}$。两式相减：$2u=x-\frac{1}{x}$，即 $u=\frac{1}{2}(x-\frac{1}{x})$。

故 $y=ux=\frac{1}{2}(x^2-1)$。（可验证：$y^{\prime }=x$，且 $\sqrt{x^2+y^2}=\frac{x^2+1}{2}$，代回原方程恒成立。）