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1999 年考研数学（二） 第 14 题
解答题 · 7 分
为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口。已知井深 ，抓斗自重 ，缆绳每米重 ，抓斗抓起的污泥重 ，提升速度为 。在提升过程中，污泥以 的速率从抓斗缝隙中漏掉。现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功？（说明：① ； 分别表示米、牛顿、秒、焦耳。② 抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计。）
提示 1
总功分三块：提抓斗（定重）、提缆绳（重量随高度变）、提污泥（重量随时间漏减）。提示 2
缆绳部分：抓斗升高 时井中余绳长 ，，对 从 到 积分。提示 3
污泥部分用时间变量最方便：，总时间 （走完 ）。答案与详解
答案
思路（为什么这么做）
变力做功题的通法是微元法 ，难点在于「力随什么变」。这里三种力各不相同：抓斗恒定（直接乘）、缆绳随位置 变（余绳越提越短）、污泥随时间 变（边提边漏）。污泥项选时间作参数最顺——重量 天然是 的函数，再用 换成功。分块累加即可，切勿把三种力混在一起。
解答
本题考查定积分的物理应用（变力做功、微元法）。 把总功分成「提抓斗」「提缆绳」「提污泥」三部分。
（1）提升抓斗：抓斗自重 为定值，提升 ，故 。
（2）提升缆绳：设抓斗已上升 米，则井中尚余缆绳长 米，重 ，微元功 ，
（3）提升污泥：以时间 （秒）为参数，污泥重 ，速度 ，微元上升 ，微元功 。提到井口用时 ，
故克服重力所作总功 。
（1）提升抓斗：抓斗自重 为定值，提升 ，故 。
（2）提升缆绳：设抓斗已上升 米，则井中尚余缆绳长 米，重 ，微元功 ，
（3）提升污泥：以时间 （秒）为参数，污泥重 ，速度 ，微元上升 ，微元功 。提到井口用时 ，
故克服重力所作总功 。