1999 年考研数学（二） 第 15 题

函数作图题是「求导流水线」：$y^{\prime }$ 管单调与极值，$y^{\prime \prime }$ 管凹凸与拐点，极限管渐近线。两个易错点：一是 $x=0$ 使 $y^{\prime }=0$ 却因带 $x^2$ 因子不变号，只是「水平切线」不是极值；二是分式函数除了铅直渐近线 $x=1$，因分子比分母高一次还有斜渐近线，用 $k=\lim \frac{y}{x}$、$b=\lim (y-kx)$ 两步定出 $y=x+2$。

本题考查导数应用综合：单调性、极值、凹凸、拐点、渐近线。 定义域为 $(-\infty ,1)\cup (1,+\infty )$。

（1）$y^{\prime }=\frac{3x^2(x-1{)}^2-x^3\cdot 2(x-1)}{(x-1{)}^4}=\frac{x^2(x-3)}{(x-1{)}^3}$。令 $y^{\prime }=0$ 得 $x=0,x=3$。符号分析：$x<1$（$x\ne 0$）时 $y^{\prime }>0$，$1<x<3$ 时 $y^{\prime }<0$，$x>3$ 时 $y^{\prime }>0$。故增区间为 $(-\infty ,1)$ 与 $(3,+\infty )$，减区间为 $(1,3)$；$x=3$ 为极小值点，极小值 $y(3)=\frac{27}{4}$。（$x=0$ 两侧 $y^{\prime }$ 不变号，非极值。）

（2）$y^{\prime \prime }=[\frac{x^2(x-3)}{(x-1{)}^3}{]}^{\prime }=\frac{6x}{(x-1{)}^4}$。令 $y^{\prime \prime }=0$ 得 $x=0$。当 $x<0$ 时 $y^{\prime \prime }<0$（凸），当 $x>0$（$x\ne 1$）时 $y^{\prime \prime }>0$（凹）。故凸区间为 $(-\infty ,0)$，凹区间为 $(0,1)$ 与 $(1,+\infty )$，拐点为 $(0,0)$。

（3）铅直渐近线：$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^3}{(x-1{)}^2}=\infty$，故 $x=1$ 是铅直渐近线。斜渐近线：$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{y}{x}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^2}{(x-1{)}^2}=1$，$\underset{x\to \infty }{\lim }(y-x)=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^3-x(x-1{)}^2}{(x-1{)}^2}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{2x^2-x}{(x-1{)}^2}=2$，故 $y=x+2$ 为斜渐近线。