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1999 年考研数学（二） 第 16 题
解答题 · 8 分
设函数 在闭区间 上具有三阶连续导数，且 ，，，证明：在开区间 内至少存在一点 ，使 。
提示 1
在 处对 、 分别写三阶泰勒展开，条件 恰好消去一次项。提示 2
两个展开式相减， 与含 的项对称相消，得到 。提示 3
由 连续， 介于其最小、最大值之间，用介值定理得 。答案与详解
思路（为什么这么做）
结论要 ，题目给三阶导且卡在两端点，信号直指「三阶泰勒 + 端点作差」。选展开中心 是因为白给了 ，一次项自动蒸发；对称地展 再相减，偶次项（、）成对抵消，只留下两个三阶导之和 。最后一步是「平均值必介于最值之间」＋ 连续的介值定理，把 兑现成某点的 。
解答
本题考查泰勒公式与介值定理的结合。 在 处展开到三阶，利用 消去一次项，再用两端点条件作差。
由带拉格朗日余项的泰勒公式，在 处展开（注意 ）：存在 、，使
代入 ：
两式相减，消去 与 ：，即 。
因为 在闭区间 上连续，故取到最小值 与最大值 ，从而
由介值定理，存在 ，使 。证毕。
由带拉格朗日余项的泰勒公式，在 处展开（注意 ）：存在 、，使
代入 ：
两式相减，消去 与 ：，即 。
因为 在闭区间 上连续，故取到最小值 与最大值 ，从而
由介值定理，存在 ，使 。证毕。