1999 年考研数学（二） 第 17 题

「面积/几何条件求曲线」＝先把几何量翻译成含 $y,y^{\prime },\int y$ 的等式，再对 $x$ 求导化掉积分号得微分方程。$S_1$ 用切线的 $x$ 轴截距求底，$S_2$ 是天然的变限积分。求导后得到的 $y{y}^{\prime \prime }=y^{\prime 2}$ 是「对数导数为常数」的伪装：${\left(\frac{y^{\prime }}{y}\right)}^{\prime }=0$，故 $\frac{y^{\prime }}{y}$ 恒定，指数函数呼之欲出。初值 $y^{\prime }(0)=1$ 不是白给的，要在积分等式里代 $x=0$ 挖出来。

本题考查由几何/面积条件建立微分方程并求解。 先用切线截距写出 $S_1$，用变限积分写出 $S_2$，代入条件后求导化为微分方程。

过 $P(x,y)$ 的切线为 $Y-y=y^{\prime }(X-x)$。令 $Y=0$ 得切线与 $x$ 轴交点横坐标 $X=x-\frac{y}{y^{\prime }}$，则三角形底边长 $|x-X|=\frac{y}{y^{\prime }}$（$y>0,y^{\prime }>0$），高为 $y$，故 $S_1=\frac{1}{2}\cdot \frac{y}{y^{\prime }}\cdot y=\frac{y^2}{2y^{\prime }}$。又 $S_2={\int }_0^{x}y(t)dt$。

代入 $2S_1-S_2=1$：$\frac{y^2}{y^{\prime }}-{\int }_0^{x}y(t)dt=1$。两端对 $x$ 求导（右端变限积分求导得 $y$）：
$$\frac{2y{y}^{\prime }\cdot y^{\prime }-y^2{y}^{\prime \prime }}{y^{\prime 2}}-y=0⟹2y{y}^{\prime 2}-y^2{y}^{\prime \prime }-y{y}^{\prime 2}=0⟹y{y}^{\prime 2}=y^2{y}^{\prime \prime }.$$

因 $y>0$，约去 $y$ 得 $y^{\prime \prime }y=y^{\prime 2}$，即 $(\frac{y^{\prime }}{y}{)}^{\prime }=\frac{y^{\prime \prime }y-y^{\prime 2}}{y^2}=0$，故 $\frac{y^{\prime }}{y}=C_1$（常数）。

定常数：在原积分等式 $\frac{y^2}{y^{\prime }}-{\int }_0^{x}ydt=1$ 中令 $x=0$，得 $\frac{y(0{)}^2}{y^{\prime }(0)}=1$，即 $y^{\prime }(0)=1$，于是 $C_1=\frac{y^{\prime }(0)}{y(0)}=1$。由 $\frac{y^{\prime }}{y}=1$ 解得 $y=C_2{e}^x$，再由 $y(0)=1$ 得 $C_2=1$。故曲线方程为 $y=e^x$。