1999 年考研数学（二） 第 18 题

证抽象数列收敛，$\epsilon$–$N$ 用不上时几乎一定走「单调有界准则」。$f$ 递减这个条件是双刃：既让相邻差 $f(n+1)-{\int }_n^{n+1}f\le 0$（用积分中值 $f(c)\ge f(n+1)$）保证单调减，又让每段「函数值减去积分」非负、配上 $f\ge 0$ 保证有下界。这其实是欧拉–麦克劳林思想的雏形：$\sum f(k)$ 与 $\int f$ 之差被 $f$ 的单调性牢牢夹住。

本题考查单调有界准则与积分中值定理。 证明 $\{a_n\}$ 单调减少且有下界即可。

单调性： $a_{n+1}-a_n=f(n+1)-{\int }_n^{n+1}f(x)dx$。由积分中值定理，存在 $c\in [n,n+1]$ 使 ${\int }_n^{n+1}f(x)dx=f(c)$。因 $f$ 单调减少且 $c\le n+1$，故 $f(c)\ge f(n+1)$，从而 $a_{n+1}-a_n=f(n+1)-f(c)\le 0$，即 $\{a_n\}$ 单调减少。

有下界： 把 $a_n$ 按区间拆开：
$$a_n=\sum _{k=1}^{n}f(k)-\sum _{k=1}^{n-1}{\int }_k^{k+1}f(x)dx=\sum _{k=1}^{n-1}[f(k)-{\int }_k^{k+1}f(x)dx]+f(n).$$

对每个 $k$，由积分中值定理存在 $c_k\in [k,k+1]$ 使 ${\int }_k^{k+1}f(x)dx=f(c_k)$，而 $f$ 单调减少、$c_k\ge k$，故 $f(k)-f(c_k)\ge 0$；又 $f(n)\ge 0$。于是 $a_n\ge 0$，$\{a_n\}$ 有下界 $0$。

由单调有界准则（单调减少且有下界的数列必收敛），$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$ 存在。证毕。