1999 年考研数学（二） 第 19 题

含 $A^{\ast }$、$A^{-1}$ 的矩阵方程，别去老实算伴随矩阵和逆，而要靠桥梁公式 $A{A}^{\ast }=|A|E$。两端左乘 $A$ 一步到位：$A^{\ast }\to |A|E=4E$，$A^{-1}\to E$，方程立刻降级成 $(4E-2A)X=E$，只剩一次求逆。先算 $|A|$ 是这一切的前提；末步 $4E-2A$ 提出公因子 $2$ 能让求逆的数字更干净。

本题考查伴随矩阵关系 $A{A}^{\ast }=|A|E$ 与矩阵方程求解。 用 $A$ 左乘方程把 $A^{\ast }$、$A^{-1}$ 都消掉。

先算 $|A|$：对 $A$ 作行变换 $R_2+R_1,R_3-R_1$，得 $\left|\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 0& 2& 0\\ 0& -2& 2\end{array}\right|=1\cdot \left|\begin{array}{cc}2& 0\\ -2& 2\end{array}\right|=4$。

在 $A^{\ast }X=A^{-1}+2X$ 两端左乘 $A$，利用 $A{A}^{\ast }=|A|E=4E$ 及 $A{A}^{-1}=E$：
$$4X=E+2AX⟹(4E-2A)X=E⟹X=(4E-2A{)}^{-1}.$$

$4E-2A=\left(\begin{array}{ccc}2& -2& 2\\ 2& 2& -2\\ -2& 2& 2\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 1& 1& -1\\ -1& 1& 1\end{array}\right)$，故 $X=\frac{1}{2}{\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 1& 1& -1\\ -1& 1& 1\end{array}\right)}^{-1}$。

对 $\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 1& 1& -1\\ -1& 1& 1\end{array}\right)$ 求逆（初等行变换）得 $\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}& 0\\ 0& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& 0& \frac{1}{2}\end{array}\right)$，于是
$$X=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}& 0\\ 0& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& 0& \frac{1}{2}\end{array}\right)=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right).$$