1999 年考研数学（二） 第 20 题

含参向量组「相关性 + 秩 + 表示」三合一，统一手法是「按列拼矩阵、初等行变换、看主元」。相关性只取决于阶梯形最后那个主元 $p-2$：非零则满秩无关，为零则降秩相关，天然给出分界 $p=2$。表示 $\alpha$ 与判相关性可共用同一次消元——把 $\alpha$ 并进增广矩阵化到行最简，坐标直接从最后一列读出；极大无关组则取主元所在的列（这里第 $4$ 列恰是第 $2$ 列的 $2$ 倍，故 ${\alpha }_4$ 出局）。

本题考查向量组线性相关性、秩、极大无关组与线性表示。 把 $({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4\mid \alpha )$ 作列排成矩阵作初等行变换。

（1）对增广矩阵 $({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4,\alpha )$ 作初等行变换化为行阶梯形：
$$\left(\begin{array}{ccccc}1& -1& 3& -2& 4\\ 1& -3& 2& -6& 1\\ 1& 5& -1& 10& 6\\ 3& 1& p+2& p& 10\end{array}\right)⟶\left(\begin{array}{ccccc}1& -1& 3& -2& 4\\ 0& 2& 1& 4& 3\\ 0& 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 0& p-2& 1-p\end{array}\right).$$
当 $p\ne 2$ 时，系数部分四个主元非零，$\mathrm{rank}=4$，故 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$ 线性无关。

继续化为行最简形，读出 $\alpha$ 的坐标：
$$⟶\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 2\\ 0& 1& 0& 0& \frac{3p-4}{p-2}\\ 0& 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 0& 1& \frac{1-p}{p-2}\end{array}\right)⟹\alpha =2{\alpha }_1+\frac{3p-4}{p-2}{\alpha }_2+{\alpha }_3+\frac{1-p}{p-2}{\alpha }_4.$$

（2）当 $p=2$ 时，把 $({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4)$ 作行变换：
$$\left(\begin{array}{cccc}1& -1& 3& -2\\ 1& -3& 2& -6\\ 1& 5& -1& 10\\ 3& 1& 4& 2\end{array}\right)⟶\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 2\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right).$$
最后一行全零，$\mathrm{rank}=3<4$，故 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$ 线性相关，秩为 $3$。

行最简形中第 $1,2,3$ 列为主元列，且第 4 列 $=2\times$ 第 2 列（即 ${\alpha }_4=2{\alpha }_2$，可验证），故 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 为一个极大线性无关组。