1998 年考研数学（二） 第 8 题

看到「增量 $=$（含 $\Delta x$ 的线性项）$+$ 高阶无穷小」，立刻联想微分定义：线性主部的系数就是 $\frac{dy}{dx}$。本题由此得到 $y^{\prime }=\frac{y}{1+x^2}$，而 $\frac{1}{1+x^2}$ 的原函数是 $\arctan x$，所以解必然带 $e^{\arctan x}$，代入 $x=1$ 出现 $\arctan 1=\frac{\pi }{4}$，答案含 $e^{\pi /4}$。

本题考查微分的概念与可分离变量的一阶微分方程。 增量 $\Delta y$ 中关于 $\Delta x$ 的线性主部就是微分 $dy$，据此写出微分方程。

由 $\Delta y=\frac{y}{1+x^2}\Delta x+\alpha$（$\alpha =o(\Delta x)$）知线性主部 $dy=\frac{y}{1+x^2}dx$，即 $\frac{dy}{dx}=\frac{y}{1+x^2}$。

分离变量 $\frac{dy}{y}=\frac{dx}{1+x^2}$，积分得 $\ln |y|=\arctan x+C_0$，即 $y=C{e}^{\arctan x}$。

由 $y(0)=\pi$ 得 $C=\pi$，故 $y=\pi e^{\arctan x}$，从而 $y(1)=\pi e^{\arctan 1}=\pi e^{\pi /4}$。选 A。