1998 年考研数学（二） 第 7 题

带绝对值的函数，不可导点只可能出现在「绝对值内部为零」的点。但要小心：若多项式部分在该点也有同样的零因子（如 $x=-1$ 处 $(x+1)$ 与 $|x+1|$ 叠成 $(x+1)|x+1|$，可导），尖点会被「抹平」。所以每个零点都要老实算左右导数，看含 $\frac{|x-a|}{x-a}$ 的因子前面系数是否非零——非零才真正不可导。

本题考查带绝对值函数的可导性。 因式分解 $f(x)=(x+1)(x-2)|x||x+1||x-1|$，可能的不可导点是绝对值内部为零处 $x=-1,0,1$，逐点用左右导数（差商）判定。

在 $x=-1$：$\frac{f(x)-f(-1)}{x+1}=(x-2)|x||x+1||x-1|\to 0$（因 $|x+1|\to 0$），左右极限都为 $0$，故 $f$ 在 $x=-1$ 可导（此处多项式因子 $(x+1)$ 与 $|x+1|$ 叠成 $(x+1)|x+1|$，把尖点抹平）。

在 $x=0$：$\frac{f(x)-f(0)}{x}=(x+1)(x-2)|x+1||x-1|\cdot \frac{|x|}{x}$，当 $x\to 0$ 前面部分 $\to (1)(-2)(1)(1)=-2$，而 $\frac{|x|}{x}$ 左极限 $-1$、右极限 $+1$，故 $f_{-}^{\prime }(0)=2\ne f_{+}^{\prime }(0)=-2$，$x=0$ 不可导。

在 $x=1$：$\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=(x+1)(x-2)|x||x+1|\cdot \frac{|x-1|}{x-1}$，前面部分 $\to (2)(-1)(1)(2)=-4$，$\frac{|x-1|}{x-1}$ 左 $-1$、右 $+1$，故 $f_{-}^{\prime }(1)=4\ne f_{+}^{\prime }(1)=-4$，$x=1$ 不可导。

在 $x=2$：$(x-2)$ 是光滑因子且 $|x^3-x|$ 在 $x=2$ 附近恒正可导，故 $f$ 在 $x=2$ 可导。综上不可导点为 $x=0,1$，共 2 个，选 C。