1998 年考研数学（二） 第 6 题

四个断言里三个是「由某条件推出 $y_n$ 的性质」，对付这类题的利器是把 $y_n$ 用已知的 $x_n{y}_n$ 表示：$y_n=(x_n{y}_n)\cdot \frac{1}{x_n}$。只有当 $\frac{1}{x_n}$ 也趋于 $0$（即 (D)）时，右边才是「无穷小 $\times$ 无穷小」保证 $y_n\to 0$；A、B、C 都能用「一个因子大、另一个小得更快」的反例推翻。

本题考查数列极限与无穷小的概念，用「举反例排除 + 正面论证」。

排除 (A)：取 $x_n=2n$（发散），$y_n=\frac{1}{n^2}$，则 $x_n{y}_n=\frac{2}{n}\to 0$，但 $\{y_n\}$ 收敛于 $0$ 而非发散，(A) 错。

排除 (B)：取 $x_n=n[1+(-1{)}^n]$，$y_n=n[1-(-1{)}^n]$，则每项 $x_n{y}_n=0$（两因子必有一个为 $0$），故 $\lim x_n{y}_n=0$；但 $\{x_n\}$、$\{y_n\}$ 都无界，(B) 错。

排除 (C)：取 $x_n=\frac{1}{n^2+1}$（有界），$y_n=n$，则 $x_n{y}_n=\frac{n}{n^2+1}\to 0$，但 $\{y_n\}$ 不是无穷小，(C) 错。

论证 (D)：$\left\{\frac{1}{x_n}\right\}$ 为无穷小即 $\frac{1}{x_n}\to 0$，而 $y_n=(x_n{y}_n)\cdot \frac{1}{x_n}$ 是两个无穷小之积，故 $y_n\to 0$，$\{y_n\}$ 必为无穷小。故选 D。