1998 年考研数学（二） 第 5 题

求斜渐近线的标准两步：$a=\lim \frac{y}{x}$、$b=\lim (y-x)$。本题 $b$ 是 $\frac{0}{0}$ 型，换元 $t=1/x$ 后恰好是 $\ln (e+t)$ 在 $t=0$ 处的导数 $\frac{1}{e+t}{|}_{t=0}=\frac{1}{e}$——识别出「$\frac{g(t)-g(0)}{t}$ 就是 $g^{\prime }(0)$」能直接省去洛必达。

本题考查曲线的渐近线（斜渐近线）。 $x\to 0^{+}$ 时 $y\to 0$，无铅直渐近线；$x\to +\infty$ 时 $y\to +\infty$，无水平渐近线，故只需求斜渐近线 $y=ax+b$。

斜率 $a=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{y}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln \left(e+\frac{1}{x}\right)=\ln e=1.$

截距 $b=\underset{x\to +\infty }{\lim }(y-x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln \left(e+\frac{1}{x}\right)-1}{1/x}$，令 $t=\frac{1}{x}\to 0^{+}$：
$$b=\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{\ln (e+t)-1}{t}=\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{e+t}=\frac{1}{e}.$$

故曲线的斜渐近线（也是唯一渐近线）为 $y=x+\frac{1}{e}$。