1998 年考研数学（二） 第 4 题

变限积分求导，若被积函数里混入了求导变量 $x$，一律先设法把 $x$ 提到积分号外或并入上下限。这里 $tdt$ 的结构提示凑微分 $u=x^2-t^2$，换元后积分变成只依赖上限 $x^2$ 的标准变限积分，再套「$\frac{d}{dx}{\int }_0^{\phi (x)}f=f(\phi ){\phi }^{\prime }$」即可。

本题考查变限积分求导。 被积函数里同时含求导变量 $x$ 与积分变量 $t$，不能直接套变限积分求导公式，要先换元把 $x$ 从被积函数中移出。

注意 $tdt=-\frac{1}{2}d(x^2-t^2)$，作换元 $u=x^2-t^2$（把 $x$ 视为常数）：当 $t:0\to x$ 时 $u:x^2\to 0$，
$${\int }_0^{x}tf(x^2-t^2)dt=-\frac{1}{2}{\int }_{x^2}^{0}f(u)du=\frac{1}{2}{\int }_0^{x^2}f(u)du.$$

现在被积函数已与 $x$ 无关，对上限 $x^2$ 用变限积分求导公式：
$$\frac{d}{dx}{\int }_0^{x}tf(x^2-t^2)dt=\frac{1}{2}\cdot f(x^2)\cdot (x^2{)}^{\prime }=\frac{1}{2}f(x^2)\cdot 2x=xf(x^2).$$