1998 年考研数学（二） 第 3 题

被积函数是「$\ln (\sin x)$ 乘以 ${\csc }^{2}x$」，而 ${\csc }^{2}x$ 正好是 $-\cot x$ 的导数，这是分部积分的强信号：把 ${\csc }^{2}xdx$ 凑成 $d(-\cot x)$，让 $\ln (\sin x)$ 去求导（其导数 $\cot x$ 恰好能和 $\cot x$ 约成 ${\csc }^{2}x-1$）。凡是「一个因子是某函数的导数」的结构，优先考虑凑微分或分部。

本题考查不定积分的分部积分（凑微分）。 注意 $\frac{1}{{\sin }^{2}x}dx=-d(\cot x)$，把 $\ln (\sin x)$ 作为要求导的部分。

$$\int \frac{\ln (\sin x)}{{\sin }^{2}x}dx=-\int \ln (\sin x)d(\cot x)=-\cot x\ln (\sin x)+\int \cot x\cdot \frac{\cos x}{\sin x}dx.$$

而 $\cot x\cdot \frac{\cos x}{\sin x}=\frac{{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x}={\csc }^{2}x-1$，故
$$\int \cot x\cdot \frac{\cos x}{\sin x}dx=\int ({\csc }^{2}x-1)dx=-\cot x-x.$$

合并得
$$\int \frac{\ln (\sin x)}{{\sin }^{2}x}dx=-\cot x\ln (\sin x)-\cot x-x+C.$$