1998 年考研数学（二） 第 2 题

「曲线与 $x$ 轴围成的面积」$={\int }_a^b|y|dx$，核心是先找全部零点、再判断每段正负。本题三次曲线有三个零点 $-1,0,2$，中间 $x=0$ 处 $y$ 变号，所以必须分两段、负区间加负号，切忌直接算 ${\int }_{-1}^{2}ydx$（那样正负面积会相互抵消）。

本题考查平面图形的面积（定积分几何应用）。 先求曲线与 $x$ 轴交点，再按被积函数符号分段积分取绝对值。

分解 $-x^3+x^2+2x=-x(x^2-x-2)=-x(x+1)(x-2)$，得曲线与 $x$ 轴交点横坐标 $x=-1,0,2$。

在 $[-1,0]$ 上 $y\le 0$，在 $[0,2]$ 上 $y\ge 0$，故面积为
$$A=-{\int }_{-1}^0(-x^3+x^2+2x)dx+{\int }_0^2(-x^3+x^2+2x)dx.$$

分别积分：${\int }_{-1}^0(-x^3+x^2+2x)dx=-\frac{5}{12}$，${\int }_0^2(-x^3+x^2+2x)dx=\frac{8}{3}$，故
$$A=-\left(-\frac{5}{12}\right)+\frac{8}{3}=\frac{5}{12}+\frac{32}{12}=\frac{37}{12}.$$