1998 年考研数学（二） 第 1 题

分子两个根号一眼看不出阶，凡是「根式和 $-$ 常数」除以幂次求极限，展开到与分母同阶（这里 $x^2$）即可。关键观察：$\sqrt{1+x}$ 与 $\sqrt{1-x}$ 的一次项符号相反会抵消，只剩二次项，而两者二次项系数都是 $-\frac{1}{8}$，相加得 $-\frac{1}{4}$。用洛必达也行但要求两次导，展开更省事。

本题考查用泰勒（麦克劳林）展开求极限。 分子是两个根式之和减 $2$，通分或有理化都繁琐，用带皮亚诺余项的泰勒展开最快。

由 $(1+u{)}^{1/2}=1+\frac{1}{2}u-\frac{1}{8}{u}^2+o(u^2)$ 得
$$\sqrt{1+x}=1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}{x}^2+o(x^2),\sqrt{1-x}=1-\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}{x}^2+o(x^2).$$

两式相加，一次项 $\pm \frac{1}{2}x$ 抵消：$\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}=2-\frac{1}{4}{x}^2+o(x^2)$，故分子 $\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2=-\frac{1}{4}{x}^2+o(x^2)\sim -\frac{1}{4}{x}^2$。

于是
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-\frac{1}{4}{x}^2}{x^2}=-\frac{1}{4}.$$