1998 年考研数学（二） 第 9 题

极大值 $\ne$ 单调，所以凡是含 $(x-a)[f(x)-f(a)]$ 这种「假设两侧单调」的选项（A、B）都要警惕——没有可导/单调假设时它们不成立。真正只靠定义 $f(x)\le f(a)$ 就能定的是 (C)：极限里 $t\to a$、$x$ 固定，连续性把它算成 $\frac{f(a)-f(x)}{(a-x{)}^2}$，分母平方恒正，分子由极大值非负，故 $\ge 0$。

本题考查极大值的定义。 $f(a)$ 为极大值意味着存在 $\delta >0$，当 $x\in (a-\delta ,a+\delta )$ 时 $f(x)\le f(a)$，即 $f(a)-f(x)\ge 0$。注意题中并未假设 $f$ 可导。

先看 (A)(B)：极大值只保证 $f(x)\le f(a)$，并不能保证 $f$ 在 $a$ 两侧单调，故 $(x-a)[f(x)-f(a)]$ 的符号不定（例如 $f$ 在两侧有波动），(A)(B) 均不必然成立。

再看 (C)(D)：对固定的 $x(x\ne a)$，令 $t\to a$，由 $f$ 连续得
$$\underset{t\to a}{\lim }\frac{f(t)-f(x)}{(t-x{)}^2}=\frac{f(a)-f(x)}{(a-x{)}^2}.$$

分母 $(a-x{)}^2>0$，分子 $f(a)-f(x)\ge 0$，故该极限 $\ge 0$。选 C。