1998 年考研数学（二） 第 10 题

伴随矩阵对数乘的规律 $(kA{)}^{\ast }=k^{n-1}{A}^{\ast }$，根源是「代数余子式 $=n-1$ 阶行列式」——把 $A$ 整体乘 $k$，每个 $n-1$ 阶余子式就有 $n-1$ 行各提出一个 $k$，故升幂 $n-1$（既不是 $k$，也不是 $k^n$）。记不清时用可逆情形的公式 $(kA{)}^{\ast }=|kA|(kA{)}^{-1}$ 验证：$|kA|=k^n|A|$、$(kA{)}^{-1}=k^{-1}{A}^{-1}$，相乘正好 $k^{n-1}{A}^{\ast }$。

本题考查伴随矩阵的定义与数乘性质。 伴随矩阵的每个元素是原矩阵的一个代数余子式，而代数余子式是 $n-1$ 阶行列式。

设 $A=(a_{ij})$，其代数余子式为 $A_{ij}$，则 $A^{\ast }=(A_{ji})$（元素转置排布）。对 $kA$，它的 $(i,j)$ 元的代数余子式 $B_{ij}$ 是把 $kA$ 划去一行一列后的 $n-1$ 阶行列式（带符号），其中每个元素都含因子 $k$、共 $n-1$ 行，故 $B_{ij}=k^{n-1}{A}_{ij}$。

于是 $(kA{)}^{\ast }=(B_{ji})=k^{n-1}(A_{ji})=k^{n-1}{A}^{\ast }$。选 B。

也可在 $A$ 可逆时用公式验证：$(kA{)}^{\ast }=|kA|(kA{)}^{-1}=k^n|A|\cdot k^{-1}{A}^{-1}=k^{n-1}|A|A^{-1}=k^{n-1}{A}^{\ast }$。