1998 年考研数学（二） 第 11 题

幂指函数 $u^v$ 的间断全在指数 $v=\frac{x}{\tan (x-\pi /4)}$ 上。两类奇点要分清：$\tan =0$ 使指数爆炸成 $\pm \infty$，底 $>1$ 于是一侧 $\to 0$、一侧 $\to +\infty$（左右不一致，第二类无穷间断）；$\tan =\infty$ 使指数 $\to 0$，$f\to$ 底${}^0=1$（左右一致、极限存在，只是没定义，可去）。周期 $\pi$ 使这两类各出现两次。

本题考查间断点的判定与分类。 $f(x)=(1+x{)}^{g(x)}$，其中 $g(x)=\frac{x}{\tan \left(x-\frac{\pi }{4}\right)}$。底 $1+x>1$ 恒正连续，间断只来自指数 $g(x)$：当 $\tan \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=0$ 或不存在时 $f$ 无定义。

在 $(0,2\pi )$ 内这些点为 $x=\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4},\frac{5\pi }{4},\frac{7\pi }{4}$（分别对应 $x-\frac{\pi }{4}=0,\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3\pi }{2}$）。

在 $x=\frac{\pi }{4}$：$x-\frac{\pi }{4}\to 0$，$\tan \to 0$，指数 $g\to \pm \infty$。左侧 $\tan \to 0^{-}$，$g\to -\infty$，$f\to (1+\frac{\pi }{4}{)}^{-\infty }=0$；右侧 $\tan \to 0^{+}$，$g\to +\infty$，$f\to +\infty$。故 $f(\frac{\pi }{4}-0)=0,f(\frac{\pi }{4}+0)=+\infty$，$x=\frac{\pi }{4}$ 为第二类（无穷）间断点。

在 $x=\frac{3\pi }{4}$：$x-\frac{\pi }{4}\to \frac{\pi }{2}$，$\tan \to \pm \infty$，指数 $g\to 0$，$f\to (1+x{)}^0=1$，左右极限都为 $1$。故 $\underset{x\to 3\pi /4}{\lim }f(x)=1$ 存在，但该点无定义，$x=\frac{3\pi }{4}$ 为可去间断点。

同理在 $x=\frac{5\pi }{4}$：$\tan \left(x-\frac{\pi }{4}\right)\to 0$，左侧 $f\to 0$、右侧 $f\to +\infty$，为第二类（无穷）间断点；在 $x=\frac{7\pi }{4}$：$\tan \left(x-\frac{\pi }{4}\right)\to \pm \infty$，$g\to 0$，$\lim f=1$，为可去间断点。

结论： $x=\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4}$ 是第二类（无穷）间断点；$x=\frac{3\pi }{4},\frac{7\pi }{4}$ 是可去间断点。