1998 年考研数学（二） 第 12 题

含参数的 $\frac{0}{0}$ 极限「凑成非零常数」，标准套路是「由分母（或分子）趋零反推参数」。这里三步锁定：①非零有限极限 $\Rightarrow$ 分母趋 $0\Rightarrow b=0$；②洛必达后分母 $\frac{\ln (1+x^3)}{x}\sim x^2$，要整体极限存在 $\Rightarrow$ 分子 $a-\cos x$ 也趋 $0\Rightarrow a=1$；③剩下 $\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$ 就是 $c$。变限积分求导 $\frac{d}{dx}{\int }_0^{x}h(t)dt=h(x)$ 是关键工具。

本题考查极限存在的条件、变限积分求导与洛必达法则。 极限为非零常数 $c$，先由「分子、分母同趋于 $0$」定 $b$，再用洛必达定 $a,c$。

当 $x\to 0$ 时分子 $ax-\sin x\to 0$。若极限为有限非零的 $c$，分母也必须 $\to 0$，即 $\underset{x\to 0}{\lim }{\int }_b^x\frac{\ln (1+t^3)}{t}dt={\int }_b^0\frac{\ln (1+t^3)}{t}dt=0$。由被积函数在 $t=0$ 附近保号知只能 $b=0$。

此时用洛必达（分母求导用变限积分求导公式，被积函数在 $t=x$ 取值）：
$$c=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{ax-\sin x}{{\int }_0^x\frac{\ln (1+t^3)}{t}dt}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{a-\cos x}{\frac{\ln (1+x^3)}{x}}.$$

分母 $\frac{\ln (1+x^3)}{x}\sim \frac{x^3}{x}=x^2\to 0$。要极限存在，分子 $a-\cos x\to a-1$ 也须 $\to 0$，故 $a=1$。

于是 $c=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$。综上 $a=1,b=0,c=\frac{1}{2}$。