1998 年考研数学（二） 第 13 题

变系数线性方程若题目给了代换，任务就是「代入 + 相信化简」——这里 $y=u/\cos x$ 把 $\cos x,\sin x$ 的系数全部吸收，方程立刻变成最标准的常系数 $u^{\prime \prime }+4u=e^x$。之后按部就班：特征根定齐次解、指数型自由项设 $A{e}^x$ 定特解，最后别忘把 $u$ 换回 $y=u/\cos x$。

本题考查变量代换化简变系数线性方程 + 常系数非齐次线性方程的解法。 先由 $y=\frac{u}{\cos x}$ 算出 $y^{\prime },y^{\prime \prime }$ 代入。

由 $y=u\sec x$ 求导：$y^{\prime }=\frac{u^{\prime }\cos x+u\sin x}{{\cos }^{2}x}$，$y^{\prime \prime }=\frac{(u^{\prime \prime }+u){\cos }^{2}x+2u^{\prime }\sin x\cos x+2u{\sin }^{2}x}{{\cos }^{3}x}$。代入原方程并整理，含 $\cos x,\sin x$ 的项全部相消，得
$$u^{\prime \prime }+4u=e^x.$$

解常系数方程 $u^{\prime \prime }+4u=e^x$：特征方程 ${\lambda }^2+4=0$，特征根 $\lambda =\pm 2i$，齐次通解 $u=C_1\cos 2x+C_2\sin 2x$。

非齐次特解设 $u_0=A{e}^x$，代入 $A+4A=1$，得 $A=\frac{1}{5}$，即 $u_0=\frac{1}{5}{e}^x$。故
$$u=C_1\cos 2x+C_2\sin 2x+\frac{1}{5}{e}^x.$$

回代 $y=\frac{u}{\cos x}$，得原方程通解
$$y=\frac{C_1\cos 2x+C_2\sin 2x+\frac{1}{5}{e}^x}{\cos x}(C_1,C_2\text{ 为任意常数}).$$