1998 年考研数学（二） 第 14 题

看到 $\sqrt{|x-x^2|}$，第一反应是「绝对值内部变号 + 端点是瑕点」：$x(1-x)$ 在 $x=1$ 变号，必须分段。分段后每段都是标准二次根式积分——统一配方 $x^2\pm \cdots =(x-\frac{1}{2}{)}^2\mp \frac{1}{4}$，根号下 $a^2-u^2$ 出 $\arcsin$，$u^2-a^2$ 出 $\ln$。瑕积分记得说明 $\frac{1}{2}<1$ 收敛。

本题考查含绝对值的反常积分（瑕积分）计算。 $x-x^2=x(1-x)$ 在 $x=1$ 处变号：$[\frac{1}{2},1]$ 上 $\ge 0$，$[1,\frac{3}{2}]$ 上 $\le 0$，且 $x=1$ 是被积函数的瑕点。

分段去绝对值：
$$I={\int }_{\frac{1}{2}}^1\frac{dx}{\sqrt{x-x^2}}+{\int }_1^{\frac{3}{2}}\frac{dx}{\sqrt{x^2-x}}=I_1+I_2.$$
两段在 $x=1$ 处都是 $\frac{1}{2}$ 阶瑕点（$\alpha =\frac{1}{2}<1$），故均收敛。

计算 $I_1$：配方 $x-x^2={\left(\frac{1}{2}\right)}^2-{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2$，
$$I_1={\int }_{\frac{1}{2}}^1\frac{d\left(x-\frac{1}{2}\right)}{\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2-{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2}}=\arcsin \frac{x-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}{|}_{\frac{1}{2}}^1=\arcsin 1-\arcsin 0=\frac{\pi }{2}.$$

计算 $I_2$：配方 $x^2-x={\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2$，
$$I_2={\int }_1^{\frac{3}{2}}\frac{d\left(x-\frac{1}{2}\right)}{\sqrt{{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}}=\ln \left|\left(x-\frac{1}{2}\right)+\sqrt{x^2-x}\right|{|}_1^{\frac{3}{2}}=\ln \left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)-\ln \frac{1}{2}=\ln (2+\sqrt{3}).$$

故
$${\int }_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}\frac{dx}{\sqrt{|x-x^2|}}=\frac{\pi }{2}+\ln (2+\sqrt{3}).$$