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1998 年考研数学（二）第 15 题

解答题 · 6 分

从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度

y

（从海平面算起）与下沉速度

v

之间的函数关系。设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始垂直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用。设仪器的质量为

m

，体积为

B

，海水比重为

ρ

，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为

k (k > 0)

。试建立

y

与

v

所满足的微分方程，并求出函数关系式

y = y (v)

。

提示 1

受力分析：重力

m g

向下、浮力

B ρ

向上、阻力

k v

向上，牛顿第二定律

m \frac{d ^{2} y}{d t ^{2}} = m g - B ρ - k v

。

提示 2

要

y

与

v

的关系而非

t

，用

\frac{d ^{2} y}{d t ^{2}} = v \frac{d v}{d y}

消去时间，得

m v \frac{d v}{d y} = m g - B ρ - k v

。

提示 3

分离变量后把

\frac{m v}{m g - B ρ - k v}

拆成常数加真分式再积分，用

y = 0, v = 0

定常数。

答案与详解

答案 $y = - \frac{m}{k} v - \frac{m ( m g - B ρ )}{k ^{2}} ln \frac{m g - B ρ - k v}{m g - B ρ}$

思路（为什么这么做）

「求

y

与

v

（而不是

t

）的关系」是关键信号，提示用链式法则把加速度写成

\frac{d ^{2} y}{d t ^{2}} = v \frac{d v}{d y}

，一步消掉时间变量，方程立刻变成

y

v

的可分离方程。积分时假分式

\frac{m v}{m g - B ρ - k v}

要先做多项式除法拆成「常数 + 真分式」，真分式积出对数。初速为零的条件

v ∣_{y = 0} = 0

定常数。

解答

本题考查牛顿第二定律建模与可分离变量方程。 取下沉起点为原点

O

，

y

轴正向铅直向下。仪器受重力

m g

（向下）、浮力

B ρ

（向上）、阻力

k v

（向上，与速度反向）。

由牛顿第二定律

m \frac{d ^{2} y}{d t ^{2}} = m g - B ρ - k v

，其中

v = \frac{d y}{d t}

。为得

y

与

v

的关系，用

\frac{d ^{2} y}{d t ^{2}} = \frac{d v}{d t} = \frac{d v}{d y} \frac{d y}{d t} = v \frac{d v}{d y}

换掉时间：

m v \frac{d v}{d y} = m g - B ρ - k v .

分离变量

d y = \frac{m v}{m g - B ρ - k v} d v

。把

\frac{m v}{m g - B ρ - k v} = - \frac{m}{k} + \frac{m ( m g - B ρ ) / k}{m g - B ρ - k v}

后积分：

y = - \frac{m}{k} v - \frac{m ( m g - B ρ )}{k ^{2}} ln (m g - B ρ - k v) + C .

由初始条件

y = 0

时

v = 0

，代入得

C = \frac{m ( m g - B ρ )}{k ^{2}} ln (m g - B ρ)

。

故所求函数关系为

y = - \frac{m}{k} v - \frac{m ( m g - B ρ )}{k ^{2}} ln \frac{m g - B ρ - k v}{m g - B ρ} .

考点：微分方程的几何与物理应用、一阶微分方程（可分离、齐次、一阶线性）

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