1998 年考研数学（二） 第 21 题

「$\beta$ 能否由向量组线性表示」就是「$Ax=\beta$ 是否有解」，一律化增广矩阵、比较 $r(A)$ 与 $r(\overline{A})$。阶梯化后关键位置冒出两个参数：$b-2$ 管「相容性」（$b\ne 2$ 末行矛盾 $\Rightarrow$ 无解 $\Rightarrow$ 不能表示），$a-1$ 管「解的个数」（$b=2$ 前提下，$a\ne 1$ 满秩唯一表示，$a=1$ 降秩无穷多表示）。分类讨论时先定相容、再定唯一/无穷是稳妥次序。

本题考查线性表示与非齐次线性方程组解的判定。 设 $x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+x_3{\alpha }_3=\beta$，对增广矩阵 $\overline{A}=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3\mid \beta )$ 作初等行变换。

$$\overline{A}=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 3\\ 4& 7& 1& 10\\ 0& 1& -1& b\\ 2& 3& a& 4\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 3\\ 0& 1& -1& 2\\ 0& 0& a-1& 0\\ 0& 0& 0& b-2\end{array}\right).$$

(1) 当 $b\ne 2$ 时，末行为 $(0,0,0\mid b-2)$，$b-2\ne 0$ 出现矛盾方程，$r(\overline{A})>r(A)$，方程组无解。故 $b\ne 2$（$a$ 为任意常数）时 $\beta$ 不能由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性表示。

(2) 当 $b=2$ 时方程组相容，$\beta$ 可表示，分两种情况：

① $a\ne 1,b=2$：$r(A)=r(\overline{A})=3$，有唯一解。行变换 $\overline{A}\to \left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -1\\ 0& 1& 0& 2\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$，得 $x=(-1,2,0{)}^T$，即 $\beta =-{\alpha }_1+2{\alpha }_2$。

② $a=1,b=2$：$r(A)=r(\overline{A})=2<3$，有无穷多解。行变换 $\overline{A}\to \left(\begin{array}{cccc}1& 0& 2& -1\\ 0& 1& -1& 2\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$，通解 $x=k(-2,1,1{)}^T+(-1,2,0{)}^T=(-2k-1,k+2,k{)}^T$，即
$$\beta =(-2k-1){\alpha }_1+(k+2){\alpha }_2+k{\alpha }_3(k\text{ 为任意常数}).$$