1998 年考研数学（二） 第 20 题

矩阵方程求解第一步永远是「整理成 $MX=N$ 的干净形式」：这里两端左乘 $C$ 就把讨厌的 $C^{-1}$ 一次清掉，得到 $(2C-B)A^T=E$，说明 $A^T$ 就是 $2C-B$ 的逆。$2C-B$ 是上三角且对角全 $1$，求逆很快（行变换或回代）。最后务必记得题目要的是 $A$，把求得的 $A^T$ 再转置一次。

本题考查矩阵方程的化简与求逆。 先在两端左乘 $C$ 消去 $C^{-1}$，把方程化成能直接求逆的形式。

在 $(2E-C^{-1}B)A^T=C^{-1}$ 两端左乘 $C$：$C(2E-C^{-1}B)A^T=C{C}^{-1}=E$，即 $(2C-B)A^T=E$，故 $A^T=(2C-B{)}^{-1}$。

计算 $2C-B=\left(\begin{array}{cccc}2& 4& 0& 2\\ 0& 2& 4& 0\\ 0& 0& 2& 4\\ 0& 0& 0& 2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cccc}1& 2& -3& -2\\ 0& 1& 2& -3\\ 0& 0& 1& 2\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 0& 1& 2& 3\\ 0& 0& 1& 2\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right).$

用初等行变换求逆 $[2C-B\mid E]\to [E\mid (2C-B{)}^{-1}]$，得
$$A^T=(2C-B{)}^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}1& -2& 1& 0\\ 0& 1& -2& 1\\ 0& 0& 1& -2\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right).$$

转置得
$$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ -2& 1& 0& 0\\ 1& -2& 1& 0\\ 0& 1& -2& 1\end{array}\right).$$