1998 年考研数学（二） 第 19 题

两问是「造函数比大小」的连环题。(1) 用「$f,f^{\prime },f^{\prime \prime }$ 层层递推符号」：$f(0)=f^{\prime }(0)=0$ 加 $f^{\prime \prime }>0$，像多米诺一样推出 $f>0$。(2) 的界 $\frac{1}{2}$ 和 $\frac{1}{\ln 2}-1$ 明显是某函数在 $0^{+}$ 和 $1^{-}$ 的极限值，提示「$g(x)=\frac{1}{\ln (1+x)}-\frac{1}{x}$ 单调 + 夹在两端极限之间」；而证 $g$ 单调要算 $g^{\prime }$，它的分子 $(1+x){\ln }^2(1+x)-x^2$ 正好是 (1)——这就是为什么先证 (1)。

本题考查用单调性证明不等式，第 (2) 问需借助第 (1) 问的结论。

(1) 令 $f(x)=x^2-(1+x){\ln }^2(1+x)$，则 $f(0)=0$，
$$f^{\prime }(x)=2x-{\ln }^2(1+x)-2\ln (1+x),f^{\prime }(0)=0,$$
$$f^{\prime \prime }(x)=2-\frac{2\ln (1+x)}{1+x}-\frac{2}{1+x}=\frac{2[x-\ln (1+x)]}{1+x}.$$

当 $0<x<1$ 时 $x>\ln (1+x)$，故 $f^{\prime \prime }(x)>0$。由 $f^{\prime }(0)=0$ 且 $f^{\prime \prime }>0$ 知 $f^{\prime }(x)>0$；再由 $f(0)=0$ 且 $f^{\prime }>0$ 知 $f(x)>0$，即 $(1+x){\ln }^2(1+x)<x^2(0<x<1)$。

(2) 令 $g(x)=\frac{1}{\ln (1+x)}-\frac{1}{x}$。求导
$$g^{\prime }(x)=-\frac{1}{(1+x){\ln }^2(1+x)}+\frac{1}{x^2}=\frac{(1+x){\ln }^2(1+x)-x^2}{x^2(1+x){\ln }^2(1+x)}.$$
由 (1) 知分子 $<0$，故 $g^{\prime }(x)<0$，$g$ 在 $(0,1)$ 内严格单调递减。

计算端点极限。$x\to 0^{+}$：
$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }g(x)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x-\ln (1+x)}{x\ln (1+x)}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x-\ln (1+x)}{x^2}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1-\frac{1}{1+x}}{2x}=\frac{1}{2};$$
$x\to 1^{-}$：$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }g(x)=\frac{1}{\ln 2}-1$。

由 $g$ 在 $(0,1)$ 严格递减，对 $0<x<1$ 有 $g(1^{-})<g(x)<g(0^{+})$，即
$$\frac{1}{\ln 2}-1<\frac{1}{\ln (1+x)}-\frac{1}{x}<\frac{1}{2}.$$