1998 年考研数学（二） 第 18 题

「已知曲率求曲线」= 「列出含 $y^{\prime \prime }$ 的微分方程再解」。两个易错点先固定：①向上凸 $\Rightarrow y^{\prime \prime }<0$，曲率公式分子取 $-y^{\prime \prime }$（别乱猜符号）；②切线方程直接读出 $y(0),y^{\prime }(0)$ 两个初值。化简后 $y^{\prime \prime }+y^{\prime 2}+1=0$ 不含 $y$，是「令 $p=y^{\prime }$ 降为一阶」的标准型，先解出 $y^{\prime }=\tan (\frac{\pi }{4}-x)$ 再积一次。极值点就是 $y^{\prime }=0$ 处，凹凸性直接判定为极大。

本题考查用曲率公式建立微分方程 + 可降阶方程求解。 由切线 $y=x+1$ 在 $(0,1)$ 知初始条件 $y(0)=1,y^{\prime }(0)=1$。曲线向上凸，$y^{\prime \prime }<0$，故曲率 $=\frac{|y^{\prime \prime }|}{(1+y^{\prime 2}{)}^{3/2}}=\frac{-y^{\prime \prime }}{(1+y^{\prime 2}{)}^{3/2}}$。

由题设 $\frac{-y^{\prime \prime }}{(1+y^{\prime 2}{)}^{3/2}}=\frac{1}{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}$，整理得 $-y^{\prime \prime }=1+y^{\prime 2}$，即
$$y^{\prime \prime }+y^{\prime 2}+1=0.$$

这是不显含 $y$ 的可降阶方程。令 $y^{\prime }=p$，则 $y^{\prime \prime }=\frac{dp}{dx}$，方程化为 $\frac{dp}{dx}=-(1+p^2)$，即 $\frac{dp}{1+p^2}=-dx$，积分得 $\arctan p=-x+C_1$。

由 $y^{\prime }(0)=1$：$\arctan 1=C_1$，得 $C_1=\frac{\pi }{4}$，故 $y^{\prime }=p=\tan \left(\frac{\pi }{4}-x\right)$。

再积分：$y=\int \tan \left(\frac{\pi }{4}-x\right)dx=\ln \left|\cos \left(\frac{\pi }{4}-x\right)\right|+C_2$。由 $y(0)=1$：$\ln \left|\cos \frac{\pi }{4}\right|+C_2=1$，即 $-\frac{1}{2}\ln 2+C_2=1$，$C_2=1+\frac{1}{2}\ln 2$。故
$$y=\ln \left|\cos \left(\frac{\pi }{4}-x\right)\right|+1+\frac{1}{2}\ln 2.$$

求极值：$y^{\prime }=\tan \left(\frac{\pi }{4}-x\right)=0$ 得 $x=\frac{\pi }{4}$。由曲线向上凸（$y^{\prime \prime }<0$）知这是极大值点，极大值
$$y\left(\frac{\pi }{4}\right)=\ln |\cos 0|+1+\frac{1}{2}\ln 2=1+\frac{1}{2}\ln 2.$$