1998 年考研数学（二） 第 17 题

旋转体「表面积」要看清由哪几段边界旋转而来：本题围成区域的边界是切线段（$[0,2]$）、曲线段（$[1,2]$）和 $x$ 轴段（$[0,1]$），其中 $x$ 轴段在旋转轴上不产生面积，故只算切线（圆锥侧面）与曲线两部分之和。曲线段套侧面积公式时 $y\sqrt{1+y^{\prime 2}}=\sqrt{x-1}\cdot \frac{\sqrt{4x-3}}{2\sqrt{x-1}}=\frac{1}{2}\sqrt{4x-3}$，根号相消是化简关键。

本题考查旋转体侧（表）面积（定积分几何应用）。 先求过原点的切线与切点，再把旋转面分成「切线段生成的圆锥侧面」与「曲线段生成的旋转面」两部分求和。

设切点 $M_0(a,\sqrt{a-1})$。$y=\sqrt{x-1}$ 的导数 $y^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}$，切线过原点故斜率 $=\frac{\sqrt{a-1}}{a}$，令 $\frac{1}{2\sqrt{a-1}}=\frac{\sqrt{a-1}}{a}$，解得 $a=2$，切点 $(2,1)$，切线 $y=\frac{1}{2}x$。

切线段（圆锥）侧面 $S_1$： 直线 $y=\frac{1}{2}x$，$x\in [0,2]$，$y^{\prime }=\frac{1}{2}$，
$$d{S}_1=2\pi y\sqrt{1+y^{\prime 2}}dx=2\pi \cdot \frac{x}{2}\cdot \sqrt{1+\frac{1}{4}}dx=\frac{\sqrt{5}}{2}\pi xdx,S_1={\int }_0^2\frac{\sqrt{5}}{2}\pi xdx=\sqrt{5}\pi .$$

曲线段旋转面 $S_2$： $y=\sqrt{x-1}$，$x\in [1,2]$，$y^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}$，$1+y^{\prime 2}=1+\frac{1}{4(x-1)}$，
$$d{S}_2=2\pi \sqrt{x-1}\cdot \sqrt{1+\frac{1}{4(x-1)}}dx=\pi \sqrt{4x-3}dx,$$
$$S_2=\pi {\int }_1^2\sqrt{4x-3}dx=\frac{\pi }{6}(4x-3{)}^{3/2}{|}_1^2=\frac{\pi }{6}(5\sqrt{5}-1).$$

故所求表面积
$$S=S_1+S_2=\sqrt{5}\pi +\frac{\pi }{6}(5\sqrt{5}-1)=\frac{6\sqrt{5}+5\sqrt{5}-1}{6}\pi =\frac{11\sqrt{5}-1}{6}\pi .$$