1997 年考研数学（二） 第 3 题

分母含 $\sqrt{x(4-x)}$（开口向下的二次式开根号），标准思路是凑 $\arcsin$。有两条路：把 $x(4-x)$ 配方成 $2^2-(x-2{)}^2$ 直接套公式；或利用结构令 $u=\sqrt{x}$。两种换元得到形式不同但只差常数的原函数，都对。

本题考查不定积分的凑微分（第一类换元）。 关键是把根号内配成 $a^2-u^2$ 的形式，凑成 $\arcsin$。

方法一（凑 $\sqrt{x}$）：$\frac{dx}{\sqrt{x(4-x)}}=\frac{dx}{\sqrt{x}\sqrt{4-x}}$，而 $d(\sqrt{x})=\frac{dx}{2\sqrt{x}}$，于是
$$\int \frac{dx}{\sqrt{x(4-x)}}=2\int \frac{d(\sqrt{x})}{\sqrt{4-(\sqrt{x}{)}^2}}=2\arcsin \frac{\sqrt{x}}{2}+C.$$

方法二（配方）：$x(4-x)=4-(x-2{)}^2$，故
$$\int \frac{dx}{\sqrt{4-(x-2{)}^2}}=\int \frac{d(x-2)}{\sqrt{2^2-(x-2{)}^2}}=\arcsin \frac{x-2}{2}+C.$$

两种写法相差一个常数（$2\arcsin \frac{\sqrt{x}}{2}$ 与 $\arcsin \frac{x-2}{2}$ 之差为常数 $\frac{\pi }{2}$），均为正确答案。