1997 年考研数学（二） 第 4 题

分母是判别式小于 0 的二次式，积分必然凑 $\arctan$：先配方 $(x+2{)}^2+2^2$，再把 $dx=d(x+2)$ 提上去。反常积分只是把上限当极限处理，$\arctan$ 在 $+\infty$ 处取 $\frac{\pi }{2}$。

本题考查反常积分的计算。 分母配方成 $a^2+u^2$，凑 $\arctan$。

$x^2+4x+8=(x+2{)}^2+4=(x+2{)}^2+2^2$，故
$${\int }_0^{+\infty }\frac{dx}{x^2+4x+8}={\int }_0^{+\infty }\frac{d(x+2)}{2^2+(x+2{)}^2}=\frac{1}{2}\arctan \frac{x+2}{2}{|}_0^{+\infty }.$$

当 $x\to +\infty$，$\arctan \frac{x+2}{2}\to \frac{\pi }{2}$；$x=0$ 时 $\arctan 1=\frac{\pi }{4}$。故原式 $=\frac{1}{2}\left(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\pi }{8}$。