1997 年考研数学（二） 第 5 题

求「向量组秩为 $r$ 时的参数」，统一做法是排成矩阵化阶梯形，让非零行数恰为 $r$。本题四维三向量，化简后出现关键项 $3-t$，只要它为零就把秩从 $3$ 压到 $2$，故 $t=3$。

本题考查向量组的秩（等价于矩阵的秩）。 把三个向量排成矩阵作初等变换，令秩为 $2$ 求 $t$。

以 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 为列构成矩阵并作初等行变换：
$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 2& 0& -4\\ -1& t& 5\\ 1& 0& -2\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& -4& -4\\ 0& t+2& 5\\ 0& -2& -2\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 3-t\\ 0& 0& 0\end{array}\right).$$

向量组的秩即该矩阵的秩。要使秩为 $2$，须 $3-t=0$，即 $t=3$。此时可验证 ${\mathbf{\alpha }}_3=-2{\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2$，三个向量恰有两个线性无关。