1997 年考研数学（二） 第 6 题

求两个无穷小「同阶」时的幂次，本质是求差式的最低阶。看到 $e^A-e^B$，先提 $e^B$ 变成 $e^B(e^{A-B}-1)$，再用 $e^u-1\sim u$ 把它降为 $A-B=\tan x-x$。$\tan x-x\sim \frac{x^3}{3}$ 是必须记住的三阶无穷小，于是 $n=3$。

本题考查无穷小的阶（同阶无穷小）。 $e^{\tan x}-e^x$ 与 $x^n$ 同阶，等价于 ${\lim }_{x\to 0}\frac{e^{\tan x}-e^x}{x^n}$ 为非零常数，求出该无穷小的阶即为 $n$。

提出公因子 $e^x$：
$$e^{\tan x}-e^x=e^x(e^{\tan x-x}-1)\sim e^x\cdot (\tan x-x)(x\to 0),$$
因为 $e^x\to 1$、$e^u-1\sim u$。

而 $\tan x-x\sim \frac{x^3}{3}(x\to 0)$（泰勒展开 $\tan x=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$）。故 $e^{\tan x}-e^x\sim \frac{x^3}{3}$，是 $x$ 的三阶无穷小，$n=3$。应选 (C)。