1997 年考研数学（二） 第 7 题

这类「$S_1,S_2,S_3$ 比大小」题，画个草图最快：$f$ 递减 $+$ 下凸。矩形以最小值 $f(b)$ 为高，必被曲边梯形包住（$S_2<S_1$）；下凸曲线整段在端点连线之下，曲边梯形被梯形包住（$S_1<S_3$）。不必真算积分，凹凸性与单调性就决定了顺序。

本题考查定积分的几何意义与函数的凹凸性。 由 $f^{\prime }(x)<0$、$f^{\prime \prime }(x)>0$ 知 $f$ 在 $[a,b]$ 上单调递减且为凹（下凸）函数，据此比较三块面积。

三个量都是 $[a,b]$ 上的「面积」：$S_1={\int }_a^{b}fdx$ 是曲边梯形面积；$S_2=f(b)(b-a)$ 是以最小值 $f(b)$ 为高的内接矩形（在曲线下方）；$S_3=\frac{1}{2}[f(a)+f(b)](b-a)$ 是以两端点连线为顶的梯形。

由 $f$ 递减，$f(b)$ 是区间最小值，内接矩形被曲边梯形包住：$S_2<S_1$；由 $f$ 下凸，曲线整段在弦（端点连线）下方，曲边梯形被直边梯形包住：$S_1<S_3$。综合得 $S_2<S_1<S_3$，应选 (B)。